КУРСОВОЙ ПРОЕКТ ПО
ТЕОРИИ АВТОМАТИЧЕСКОГО
УПРАВЛЕНИЯ
СОДЕРЖАНИЕ:
1 Введение __
2 Задание на проектирование __
3 Расчет КЧХ объекта в требуемом диапазоне частот __
4 Расчет параметров настройки ПИ и ПИД – регуляторов __
5 Определение устойчивости замкнутой АСР __
6 Оценка качества управления и выбор регулятора __
7 Литература __
8 Приложение __
Введение
Автоматизация производства на современном этапе является важнейшим фак-тором научно-технического прогресса во всех отраслях промышленности, в том числе и пищевой.
Важнейшей задачей автоматизации управления технологическими процесса-ми предприятий промышленности является создание локальных автоматических систем регулирования (АСР), характеризующимся высоким быстродействием, точностью, надежностью и экономичностью.
Принципы построения АСР являются общими независимо от природы регули-руемой величины и конструкции регулирующей аппаратуры. Изучение и прак-тическое использование этих принципов регулирования в ходе расчета реальной системы регулирования является целью выполнения настоящего курсового про-екта.
При создании АСР производственных объектов основное значение имеет пра-вильный выбор регуляторов и расчет оптимальных параметров их настройки. Эти задачи решаются на стадии проектирования АСР. Согласно методикам, вы-работанным на основе теоретических исследований и проверенных на практике при наладки и эксплуатации АСР, правильный выбор регуляторов и определение параметров их настройки требует знания динамических свойств объекта регули-рования. Эти свойства управляемого объекта вполне определяются его ком-плексной частотной характеристикой (КЧХ) , отвечающей каналу управления, на вход которого подается управляющий сигнал , а на выходе регистрируется управляемая величина , причем - мнимая единица, - пе-ременная времени, а - циклическая частота.
Информацию о КЧХ объекта получают как экспериментально, так и при по-мощи расчетов. Целью исследования и(или) расчета АСР является формирова-ние такой системы, которая обеспечивала бы наилучшее (оптимальное) качест-во управления. При этом объект управления является заданным и задача по формированию оптимальной системы управления сводится к выбору наилуч-
шего регулятора. На практике наибольшее распространение получили ПИ (пропорционально – интегральные регуляторы) и ПИД-регуляторы (пропор-ционально – интегрально – дифференциальные регуляторы), т.к. в большинст-ве случаев они оказались значительно более эффективными по сравнению с ос-тальными, поэтому в нашей работе рассмотрены именно эти регуляторы.
1 ЗАДАНИЕ НА ПРОЕКТИРОВАНИЕ
Исходные данные для выполнение курсового проекта, содержащие значения КЧХ при четырёх различных частотах к, k=l,...,4 и предельно допустимой чувствительности приведены в таблице 1.
Таблица 1.
Wоб(i1) Wоб(i2) Wоб(i3) Wоб(i4) Значение частот чувствительности
А(1) (1) А(2) (2) А(3) (3) А(4) (4) 1 2 3 4 DF
1,6466 -1,6052 0,7744 -2,8096 0,1531 -4,1437 0,0764 -4,5117 1 2 4 5 5
Для выполнения курсового проекта необходимо по данным таблицы 1 рас-считать и построить на графике КЧХ исследуемого объекта. Затем, по этим же данным выполнить расчет оптимальных значений параметров ПИ и ПИД-регуляторов. Проанализировать замкнутые системы с этими регулятора-ми на устойчивость и оценить также их запас устойчивости. Далее, следует оп-ределить качество управления, обеспечиваемое при использовании ПИ и ПИД-регуляторов, и выбрать из них наилучший.
2 РАСЧЁТ КЧХ ОБЪЕКТА В ТРЕБУЕМОМ ДИАПАЗОНЕ ЧАСТОТ
Чтобы лучше представить область частот, в которой необходимо исследо-вать динамические свойства управляемого объекта необходимо построить на комплексной плоскости годограф КЧХ Wоб(i). При этом на оси Y - мнимой Im Wоб(i) и оси X - вещественной Re Wоб(i) системы координат, соответст-венно в одинаковом масштабе откладываются значения величины Im Wоб(iк) и Re Wоб(iк) для каждого из значений к - циклической частоты, где k –шаг изменения циклической частоты в данном случае равный 0,1 представленных в таблице 2.
Для определения по данным таблицы 1 значений мнимой величин Im Wоб(i) и Re Wоб(i) КЧХ объекта Wоб(i) выражение Wоб(i) = А ()еi() представим в виде:
Wоб(i) = А ()cos () + iА ()sin (). (1)
где Wоб - передаточная функция объекта
i - мнимая единица,
ω - круговая (циклическая) частота
А () – амплитудно–частотная характеристика объекта
() – фаза –частотная характеристика объекта
Сопоставив выражения Wоб(i) = Re Wоб(i) + iIm Wоб(i) и (1)
где iIm Wоб(i) определяющая мнимую координату точки годографа КЧХ при заданном значении циклической частоты .
Re Wоб(i) определяющая вещественную координатe точки годографа КЧХ при заданном значении циклической частоты .
и установим, что
Re Wоб(i) = А ()cos (); Im Wоб(i) = А ()sin () (2)
Используя программу CHASTXAR, найдём промежуточные значения вели-чин Im Wоб(i) и Re Wоб(i). Результаты, полученные в результате использова-ния данной программы, запишем в таблице 2.
Таблица 2.
Re Wоб(i)
Im Wоб(i)
1 -0,0566 -1,6456
1,2 -0,4401 -1,3606
1,5 -0,7332 -0,8816
1,7 -0,7853 -0,5922
2,0 -0,7321 -0,2524
2,2 -0,5693 -0,0127
2,5 -0,2667 0,1174
2,8 -0,0303 0,0326
3,0 0,0498 -0,0924
3,2 0,0602 -0,2362
3,5 -0,0426 -0,4328
3,8 -0,2521 -0,5551
4,0 -0,4270 -0,5786
4,2 -0,0994 -0,3054
4,5 -0,7331 -0,2963
5,0 -1,0203 0,9835
По данным приведённых в таблице 2 построим КЧХ объекта на рисунке 1.
На основании приведённых данных на рисунке 1 построен годограф КЧХ объекта.
Согласно критерия Найквиста формулирующегося следующим образом:
если разомкнутая система устойчива, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы КЧХ разомкнутой системы не охватывала точку комплексной плоскости с координатами ( , ). В виду сложности очертания годографа КЧХ, к пред-ставленной выше формулировке критерия Найквиста добавляется уточнение, го-дограф КЧХ может пересекать отрицательную ось левее точки (–1, 0), но тогда число его положительных (сверху вниз) переходов через ось абсцисс левее точки (–1, 0) должно равняться числу отрицательных переходов (снизу вверх).
Вид годографа КЧХ, заданной разомкнутой системы без регулятора, на рис. 1 отвечает случаю, когда система устойчива (я не стал указывать значения Re Wоб(i) и ImWоб(iω) полученные при ω более 5), т.к. число отрицательных пе-реходов (снизу вверх), будет равняться числу его положительных (сверху вниз) переходов через ось абсцисс левее точки (–1, 0).
3 Расчет параметров настройки ПИ и ПИД – регуляторов
Цель расчета заключается в определении таких значений параметров на-стройки регулятора, при которых обеспечивалось бы выполнении условия и ограничения на запас устойчивости Мкл Мкл* и Мкл* = 1,62.
где Кр- коэффициент передачи объекта
Ти - постоянные времени интегрирования
Мкл - показатель колебательности замкнутой системы
Мкл*- предельно допустимое значение Мкл
Тип автоматического регулятора, обеспечивающего наилучшее качество ре-гулирования, определяется на основе выбора между ПИ и ПИД-регуляторами, получившими наибольшее распространение на практике. При этом на основа-нии данных о динамике управляемого объекта, представленных в таблицах 1, осуществляется расчет параметров настройки сначала ПИ, а затем ПИД-регулятора.
При выполнении данных расчётов, после небольшой доработки, были ис-пользованы программы PIREG и PIDREG. Данные, полученные при использо-вании этих программ, записаны в таблице 3 и 4.
Таблица 3
Параметры настройки ПИ - регулятора
Кр
Ти
Кр/Ти
Wp
0.6952
2.2122
0.3143
0.9945
где Wp -резонансная частота
Таблица 4
Параметры настройки ПИД - регулятора
Кр
Ти
Тд
Кр/Ти
Wp
WF
0.2059
0.0350
11.9741
5.8806
5.5259
1.5031
где Тд - постоянные времени дифференцирования
WF-значение частоты при которой достигается максимум вспомогательной функции для ПИД-регулятора
На основании представленных здесь регуляторов расчета можно сделать вы-вод, что для рассматриваемого объекта применение ПИД-регулятора позволяет в несколько раз увеличить отношение Кр / Ти по сравнению со случаями ис-пользования ПИ - регулятора. На основании выражения
где оценка качества управления на основе статистических характе-ристик ошибки управления
где - оператор математического ожидания
- ошибка управления при использовании ПИ и ПИД-регуляторов
- входное возмущающее воздействие
Wоб(i0)-передаточная функция объекта при циклической частоте ω равной 0
определим значение следующего отношения:
(3)
Следовательно, в рассматриваемом случае переход от ПИ-регулятора к ПИД-регулятору позволяет уменьшить математическое ожидание ошибки управления более чем в18 раз.
4 Определение устойчивости замкнутой АСР
Для того, чтобы автоматическая система регулирования могла выполнять возложенные на неё функции, она должна, прежде всего, удовлетворять требо-ванию устойчивости, то есть возвращаться к равновесному состоянию после снятия возмущения, нарушившего ее равновесие.
Согласно динамической теории устойчивости линейных систем, основы ко-торой сформулированы А. М. Ляпуновым, устойчивость линейной системы за-висит от корней ее характеристического уравнения. Линейная АСР является устойчивой только в том случае, если все действительные корни и веществен-ные части комплексно-сопряженных корней ее характеристического уравнения будут отрицательными.
Определение корней характеристического уравнения обычно связано с тру-до¬емкими вычислениями и далеко не всегда возможно, т.к. для реальных объ-ектов часто не удается построить достаточно достоверные параметрические математические модели, описывающие их динамику. Поэтому для практиче-ских расчетов, как правило, пользуются косвенными признаками, позволяю-щими без определения корней характеристического уравнения исследовать систему на устойчивость. Такие признаки получили название критериев устой-чивости.
Наиболее часто употребляемыми критериями устойчивости являются алгеб-раи¬ческие критерии Рауса - Гурвица, а также критерии Михайлова и Найкви-ста, основанные на частотных представлениях. В настоящем курсовом проекте, по заданию, предусмотрено использование критерия Найквиста.
Критерий Найквиста основан на рассмотрении КЧХ разомкнутой системы
Wрc(i) = Wоб(i) Wрег(i)
по виду которой можно судить об устойчивости замкнутой АСР. Это обу-словлено наличием однозначной зависимости между передаточной функцией разомкнутой системы и характеристическим уравнением замкнутой АСР.
(4)
Критерий Найквиста формулируется следующим образом:
Система регулирования, устойчива в разомкнутом состоянии, будет устой-чива и в замкнутом состоянии, если годограф комплексной частотной характе-ристики разомкнутой системы не охватывает точку с координатами (-1, i0).
Для определения устойчивости замкнутой АСР воспользуемся программой
CHASTXAR, а также данными таблиц 1,3,4 Данные, полученные при использо-вании этой программы, заносим в таблицу 5.
ПИ
ПИД
ПИ (запас устойчи- воcти ПИД(запас ус-тойчи-вости) ПИ (фильт- ра-ция)
ПИД(фильт- рация )
W
Re{Wpc}
Im{Wpc}
Re{Wpc}
Im{Wpc}
Азс
Азс
Азс
Азс
1 -0,5565 -1,1262 -5,6354 -0,1453 1,0379 1,2155 1,8262 0,2156
1,2 -0,6623 -0,8306 -2,7353 0,5753 1,1848 1,5289 1,1153 0,5470
1,5 -0,6944 -0,4593 -0,3482 -0,0175 1,5093 0,5347 1,8129 1,5336
1,7 -0,6554 -0,2665 0,2711 -0,6958 1,6242 0,5153 2,2956 0,6901
2,0 -05486 -0,0604 0,3514 -1,5085 1,2120 0,7648 2,1959 0,4937
2,2 -0,3976 0,0725 -0,0824 -1,5682 0,6661 0,8643 1,6481 0,5504
2,5 -0,1706 0,1151 -0,5021 -0,9920 0,2458 1,0017 1,1943 0,9010
2,8 -0,0174 0,0260 -0,1626 -0,1389 0,0319 0,2519 1,0174 1,1780
3,0 0,0249 -0,0694 0,5124 0,2515 0,0718 0,3723 0,9735 0,6523
3,2 0,0187 -0,1701 1,4416 0,3158 0,1657 0,5994 0,9683 0,4062
3,5 -0,0685 -0,2971 2,9987 -0,3854 0,3118 0,7526 1,0228 0,2489
3,8 -0,2212 -0,3650 4,2890 -2,0858 0,4962 0,8389 1,1626 0,1759
4,0 -0,3423 -0,3687 4,7674 -3,7019 0,6672 0,8807 1,3262 0,1459
4,3 -0,0914 10,2050 2,7993 -0,9805 0,2410 0,7559 1,0736 0,2549
4,6 -0,5299 -0,1559 2,8301 -7,4377 1,1152 0,9512 2,0191 0,1195
5,0 -0,6475 0,7478 -11,1763 -11,1745 1,1965 1,0457 1,2096 0,0662
Таблица 5
Частота Разомкнутая система
с ПИ-регулятором Разомкнутая система
с ПИД-регулятором Замкнутая система с ПИ регулятором (запас устойчивости)
Замкнутая система с ПИД
регулятором
(запас
устойчивости) Замкнутая сис-тема с ПИ ре-гулятором
(фильтрация)
Замкнутая сис-тема с ПИД ре-гулятором
(фильтрция )
ω ImWрс(iω) ReWрс(iω) ImWрс(iω) ReWрс(iω) Азс(ω)
Азс(ω)
Азс(ω)
Азс(ω)
1 -0,5565 -1,1262 -5,6354 -0,1453 1,0379 1,2155 1,8262 0,2156
1,2 -0,6623 -0,8306 -2,7353 0,5753 1,1848 1,5289 1,1153 0,5470
1,5 -0,6944 -0,4593 -0,3482 -0,0175 1,5093 0,5347 1,8129 1,5336
1,7 -0,6554 -0,2665 0,2711 -0,6958 1,6242 0,5153 2,2956 0,6901
2,0 -05486 -0,0604 0,3514 -1,5085 1,2120 0,7648 2,1959 0,4937
2,2 -0,3976 0,0725 -0,0824 -1,5682 0,6661 0,8643 1,6481 0,5504
2,5 -0,1706 0,1151 -0,5021 -0,9920 0,2458 1,0017 1,1943 0,9010
2,8 -0,0174 0,0260 -0,1626 -0,1389 0,0319 0,2519 1,0174 1,1780
3,0 0,0249 -0,0694 0,5124 0,2515 0,0718 0,3723 0,9735 0,6523
3,2 0,0187 -0,1701 1,4416 0,3158 0,1657 0,5994 0,9683 0,4062
3,5 -0,0685 -0,2971 2,9987 -0,3854 0,3118 0,7526 1,0228 0,2489
3,8 -0,2212 -0,3650 4,2890 -2,0858 0,4962 0,8389 1,1626 0,1759
4,0 -0,3423 -0,3687 4,7674 -3,7019 0,6672 0,8807 1,3262 0,1459
4,3 -0,0914 10,2050 2,7993 -0,9805 0,2410 0,7559 1,0736 0,2549
4,6 -0,5299 -0,1559 2,8301 -7,4377 1,1152 0,9512 2,0191 0,1195
5,0 -0,6475 0,7478 -11,1763 -11,1745 1,1965 1,0457 1,2096 0,0662
Для исследования указанных систем построим графики соответствующих годографов КЧХ разомкнутых систем.
Рисунок 2.КЧХ разомкнутой системы с ПИ регулятором
Применяя критерий Найквиста к фрагменту годографа КЧХ разомкнутой системы, представленному на рисунке 2, можно сделать вывод об устойчиво-сти замкнутой системы с ПИ-регулятором, т.к. данный годограф не охватыва-ет точку с координатами (-1, i0) (он проходит немного ниже этой точки).
Об устойчивости замкнутой системы с ПИД-регулятором можно сделать вывод из рисунка 3. Но в виду сложности его очертания, с уточнением к представленной выше формулировке критерия Найквиста добавляется, что система может быть устойчива, если годограф КЧХ пересекает отрицательную ось левее точки (–1, 0), но тогда число его положительных (сверху вниз) пе-реходов через ось абсцисс левее точки (–1, 0) должно равняться числу отри-цательных переходов (снизу вверх).
По виду годографа КЧХ, заданной разомкнутой системы с ПИД-регулятором, на рис. 3 сложно сказать о его устойчивости т.к. при больших значениях ω значения Re Wоб(i) и ImWоб(iω) становятся колебательными и их амплитуда возрастает (я не стал указывать в графике значения Re Wоб(i) и ImWоб(iω) полученные при ω более 40), но из полученных расчетов достаточ-но ясно видно, что число отрицательных переходов (снизу вверх) будет рав-няться число его положительных (сверху вниз) переходов через ось абсцисс левее точки (–1, 0) из чего заключаем, что система с ПИД-регулятором ус-тойчива.
Рисунок 3.КЧХ разомкнутой системы с ПИД регулятором
Рисунок 4.АЧХ замкнутой системы по каналу от входа до выхода:
А) система с ПИ регулятором;
Б) система с ПИД регулятором
Определим выполняется ли для замкнутой системы ограничения на запас устойчивости
Mкл Mкл* ; Mкл* = 1,62
,
где .
С этой целью необходимо построить график АЧХ замкнутой системы. Для его построения также используется программа CHASTXAR и данные из табли-цы 1. кроме того, необходимо ввести значения параметров настройки ПИ и ПИД-регуляторов.
По результатам расчета программы CHASTXAR построен график КЧХ разо-мнутой системы с ПИ – регулятором, представленный на рисунке 4 АЧХ замкнутой системы по каналу от входа до выхода.
Рис. 4
На основании графиков, представленных на рисунке 4, можно сделать вы-вод, что замкнутая система с ПИ-регулятором при оптимальных параметрах настройки не только устойчива, но и обладает заданным запасом устойчиво-сти, т.к. максимальное значение АЧХ ≈1,575, что не превышает значения 1,62.
А, соответственно, замкнутая система с ПИД-регулятором не обладает за-данным запасом устойчивости, т.к. максимальное значение АЧХ ≈ 2,2 , что превышает значение ограничения запаса устойчивости для заданной систе-мы, по условию, на 0,58.
1. ОЦЕНКА КАЧЕСТВА УПРАВЛЕНИЯ И ВЫБОР РЕГУЛЯТОРА
Качество управления оценивается на основе критерия M (t) и M 2(t). Но чтобы сделать окончательный вывод о целесообразности исполь-зования ПИ и ПИД - регулятора, необходимо проанализировать, в каком из этих случаев величина критерия M 2(t) окажется меньшей. Для этого не-обходимо воспользоваться АЧХ замкнутой системы А() =W(), т.к. её квадрат входит в выражение
(5)
Поскольку спектральная плотность возмущающих воздействий G () обычно неизвестна, то необходимо воспользоваться гипотезой о низкочас-тотном характере возмущений (t) и в этом случае оценить эффективность применения каждого регулятора.
Согласно рисунку 5 для системы с ПИ и ПИД – регулятором соответст-венно и , т.е. , где ф – граничная частота интеграла фильтрации возмущающих воздействий (частота ф находится из следую-щих неравенств: W(i)21; ф). Кроме того, на всем интервале частот выполняется неравенство
(6)
Представим интеграл (5) в виде
М2(t) = I1 + I2 + I3 (7)
где
I1 = (8)
I2 = (9)
I3 = (10)
Рисунок 5 АЧХ замкнутой системы по каналу
От входа до ошибки:
А) система с ПИ регулятором
Б) система с ПИД регулятором
а 0 – частота, при которой:
G() 0, (11)
G() = 0, (12)
С учетом соотношений (11), (12) и выражений (8), (9), (10) приходим к выводу, что равенство (7) можно представить в виде:
М2(t) = (13)
т.к. согласно (12) и (9), (10) имеют место равенства I2 = I3 = 0
Если ПИ , то принимая во внимание выражение (13), а также нера-венство (6) приходим к выводу, что при использовании ПИ - регулятора зна-чение критерия М2(t) будет меньше, чем в случае применения ПИД — ре-гулятора.
Следовательно, ПИ – регулятор (несмотря на увеличение времени регули-рования в сравнении с ПИД– регулятором) в рассмотренном случае оказался более предпочтительным по сравнению с ПИД - регулятором, т.к. его при-менение способствовало выполнению требований
М (t) = min
М 2(t) = min
ЛИТЕРАТУРА:
1. Теория автоматического управления Под ред. А.В. Нетушила
- М.; Высшая школа, 1982.
2. Шавров А.В. Коломиец А.П. Автоматика. – М.; Колос, 1999.
3. Бессекерский В.А. Попов В.П. Теория автоматического регулирова-ния
- М.; Наука, 1975.