Закономерность распределения простых чисел в ряду натуральных чисел.
(IX математический симпозиум, г. Волжский, 05-11 октября 2008 года.)
Простые числа? – Это просто!?
Узнав о важной роли простых чисел (ПЧ) в криптографии, генерации случайных чисел, навигации, имитационном моделировании и о том, что нужна закономерность распределения ПЧ в ряду натуральных чисел, не являясь математиком, всё же рискнул заняться решением этой задачи. Результат ниже.
Для начала выписал ряд ПЧ. Конечно же, это было сделано с целью заметить, хоть какую бы, закономерность. С этой же целью были вычислены разности между соседними числами ряда ПЧ. Было замечено, что иногда появлялась последовательность разностей 6-4-2-4-2-4-6-2. Там, где эта последовательность нарушалась, были введены составные числа (СЧ). Результат представлен в таблице 1, СЧ в которой подчёркнуты. Числа 2, 3, 5, являясь ПЧ, из рассмотрения всё же были убраны. Это первое исключение из правил. Вторая вольность заключалась введением в рассмотрение числа 1, зная, что единица не является простым числом.
Целью же было найти закономерность среди ПЧ + СЧ, а потом уже найти закономерность среди ПЧ. Стратегия поиска закономерности ПЧ заключалась в следующей логической формуле:
(закономерность ПЧ+СЧ) – (закономерность СЧ) = закономерность ПЧ.
Из ПЧ + СЧ, представленных в таблице 1, была составлена система из восьми арифметических прогрессий. Результат представлен в таблице 2.
Разности всех восьми прогрессий равны 30 и их первые члены равны соответственно 1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, а сами ряды обозначены через R1, R7,R11, R13, R17, R19, R23, R29. СЧ, как и в таблице 1, подчёркнуты и сверху расписаны в виде произведений двух чисел. Можно сформулировать правило, по которому в любой из восьми арифметических прогрессий распределены СЧ.
Если в арифметической прогрессии, какой – либо член an можно представить в виде двух сомножителей fxp, то последующие члены этой прогрессии an+mf являются произведением fx(p+md), а члены an+kp произведением px(f+kd), где m и k любые натуральные числа, а d – разность этой прогрессии.
Данное правило не нуждается в доказательстве, т.к. фактически следует из определения арифметической прогрессии. Но для объяснения закономерности ПЧ имеет большое значение. Во - первых, оно запрещает поиск рядов ПЧ, подчиняющихся одной арифметической прогрессии, т.к. любое простое число an можно представить в виде anх1, и тогда в любом ряде через число членов an, появляется составное число anх(1+d).
Во – вторых, в любой арифметической прогрессии появление дополнительных составных чисел возможно только в сочетании с разностью именно этой прогрессии.
Это правило можно сформулировать для любого числа сомножителей, но в данном случае интерес представляет число сомножителей равное двум.
В качестве примера рассмотрим в ряде R1 четвёртый член равный 91=7х13. Ближайшим членом в ряде R1 кратным семи является число 301, отстоящее от числа 91 на семь номеров, соответственно, число 301 принадлежит ряду СЧ. Число 301 является произведением 7х43 (301=7х43), и с номера этого числа равного 11, каждое сорок третье число, тоже делится на 43 и, соответственно, принадлежит к ряду СЧ. Дальше это можно не описывать, т.к. это хорошо видно в таблице 2.
Расписав таблицу 2 в виде математических символов, удалось получить систему из восьми формул, расписанных в виде разности сумм, см. таблицу 3. Во всех восьми формулах системы, члены с рядами двойных сумм служат фильтрами, удаляющими СЧ из ряда ПЧ+СЧ, и задают работу фильтров в виде матриц.
В таблице 4 изображено распределение номеров СЧ в ряде R1, определяемых вторым членом формулы. Это матрица, в которой и по столбцам и по строкам арифметические прогрессии.
В формулах индексы и обозначают столбцы и строки подобных матриц, сами же и дополнительными индексами не отягощаю. Без и описать работу матриц не смог, а формальная фраза, что в выражении под суммой произведений подразумеваются всевозможные их комбинации в зависимости от значений a1 и с1, будет неверна. Ибо все члены с номерами при >1 и >1 из формулы выпадают.
Система формул арифметических прогрессий, позволяющая вычислять ПЧ, получилась достаточно громоздкой, но закономерность обозначена.
Данная статья была подготовлена для публикации в научном журнале с математическим уклоном. Пока шёл поиск данного журнала, путём несложных умозаключений, была составлена система рядов арифметических прогрессий с разностью 10. Результат в таблице 5 и 6. Всё было расписано по образцу и подобию предыдущего материала. В таблице 7 изображена матрица для номеров второго члена формулы 1 таблицы 6.
Не начав переписывать статью заново, в связи с открытием новой системы уравнений, опять же путём размышлений, были расписаны арифметические прогрессии с разностью 2 и 1, т.е. при разности единица ПЧ были напрямую увязаны с натуральным рядом. Результат в таблице 8 и 9.
Всё расписано, как и в случаях с системами уравнений арифметических прогрессий разностей 30 и 10. И после этого наступил момент истины.
Оказалось, что подобных уравнений можно составить бесконечное множество. Это арифметические прогрессии с разностью 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 … 30 …. .
Интереса ради, расписана система арифметических прогрессий с d = 6 .
5х5 7х7 5х11 5х17 7х13
1 7 13 19 25 31 37 43 49 55 61 67 73 79 85 91 97
5х7 5х13 7х11 5х19
5 11 17 23 29 35 41 47 53 59 65 71 77 83 89 95 101
В таблице 10 изображены матрицы номеров этой системы.
Обобщающий вывод:
ПЧ можно представить комбинацией арифметических прогрессий. Таких комбинаций бесконечное множество. Но каждая из комбинаций систем арифметических прогрессий позволяет только единственное представление ПЧ при заданной разности прогрессий задающей ряды ПЧ+СЧ.
Если в значения переменных двойных сумм вставить их аналитические выражения через переменные и - столбцы и строки матриц, получатся формулы самих СЧ.
Тогда формула любого члена матриц СЧ таблицы 4, примет вид (30 I - 17) (30 j - 23).
Аналогично для таблицы 7- (10 I - 3) (10 j - 7).
Для таблицы 8, ряда нечётных чисел - (2 I + 1) (2 j + 1).
Для таблицы 9, ряда натуральных чисел - ( I + 1) ( j + 1).
Заостряю внимание на том факте, что это уже не номера членов СЧ в рядах ПЧ + СЧ, а численные значения этих номеров. И подобных уравнений СЧ можно составить по числу систем арифметических прогрессий, и даже значительно больше, т.е. бесконечное множество.
Для наглядности можно расписать уравнения таблицы 3 в символах и .
Результат в таблице 11.
И предлагаю рассмотреть, для сравнения, формулы для вычисления составного числа 91 в различных системах арифметических прогрессий.
В системе c d = 30 число 91 – это (30 - 17) (30 - 23), при = 1, = 1.
В системе c d = 10 это же число – (10 - 3) (10 - 7), при = 2, = 1.
В системе c d = 6 ……………… – (6 + 1) (6 + 1), при = 1, = 2.
В системе c d = 4 ……………… – (4 - 1) (4 + 1), при = 2, = 3.
В системе c d = 2 ……………… – (2 + 1) (2 + 1), при = 3, = 6.
В системе c d = 1 ……………… – ( + 1) ( +1), при = 6, = 12.
2008г.
г. Заволжье
Белотелов В.А.
vbelotelov@mail.ru
1 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 49 53 59
6 4 2 4 2 4 6 2 6 4 2 4 2 4 6 2
61 67 71 73 77 79 83 89 91 97 101 103 107 109 113 119
6 4 2 4 2 4 6 2 6 4 2 4 2 4 6 2
121 127 131 133 137 139 143 149 151 157 161 163 167 169 173 179
6 4 2 4 2 4 6 2 6 4 2 4 2 4 6 2
181 187 191 193 197 199 203 209 211 217 221 223 227 229 233 239
6 4 2 4 2 4 6 2 6 4 2 4 2 4 6 2
241 247 251 253 257 259 263 269 271 277 281 283 287 289 293 299
6 4 2 4 2 4 6 2 6 4 2 4 2 4 6 2
301 307 311 313 317 319 323 329 331 337 341 343 347 349 353 359
6 4 2 4 2 4 6 2 6 4 2 4 2 4 6 2
361 367 371 373 377 379 383 389 391 397 401 403 407 409 413 419
6 4 2 4 2 4 6 2 6 4 2 4 2 4 6 2
421 427 431 433 437 439 443 449 451 457 461 463 467 469 473 479
6 4 2 4 2 4 6 2 6 4 2 4 2 4 6 2
481 487 491 493 497 499 503 509 511 517 521 523 527 529 533 539
6 4 2 4 2 4 6 2 6 4 2 4 2 4 6 2
541 547 551 553 557 559 563 569 571 577 581 583 587 589 593 599
6 4 2 4 2 4 6 2 6 4 2 4 2 4 6 2
601 607 611 613 617 619 623 629 631 637 641 643 647 649 653 659
6 4 2 4 2 4 6 2 6 4 2 4 2 4 6 2
661 667 671 673 677 679 683 689 691 697 701 703 707 709 713 719
6 4 2 4 2 4 6 2 6 4 2 4 2 4 6 2
721 727 731 733 737 739 743 749 751 757 761 763 767 769 773 779
6 4 2 4 2 4 6 2 6 4 2 4 2 4 6 2
Таблица1
7х13 11х11 7х43 19х19 17х23 11х41 13х37 7х73
1 31 61 91 121 151 181 211 241 271 301 331 361 391 421 451 481 511 541 571
11х17 7х31 13х19 7х61 11х47
7 37 67 97 127 157 187 217 247 277 307 337 367 397 427 457 487 517 547 577
7х23 13х17 11х31 7х53 19х29 7х83
11 41 71 101 131 161 191 221 251 281 311 341 371 401 431 461 491 521 551 581
7х19 11х23 7х49 13х31 17х29 7х79 11х53
13 43 73 103 133 163 193 223 253 283 313 343 373 403 433 463 493 523 553 583
7х11 7х41 13х29 11х37 19х23 7х71 17х31
17 47 77 107 137 167 197 227 257 287 317 347 377 407 437 467 497 527 557 587
7х7 13х13 7х37 17х17 11х29 7х67 23х23 13х43 19х31
19 49 79 109 139 169 199 229 259 289 319 349 379 409 439 469 499 529 559 589
11х13 7х29 17х19 7х59 11х43 13х41
23 53 83 113 143 173 203 233 263 293 323 353 383 413 443 473 503 533 563 593
7х17 11х19 13х23 7х47 11х49
7х77
29 59 89 119 149 179 209 239 269 299 329 359 389 419 449 479 509 539 569 599
7х103 11х71 29х29 13х67 17х53 19х49
7х133 31х31 23х47 11х101 7х163
601 631 661 691 721 751 781 811 841 871 901 931 961 991 1021 1051 1081 1111 1141 1171
13х49
7х91 23х29 17х41 19х43 11х77
7х121 13х79 7х151 31х37 11х107
607 637 667 697 727 757 787 817 847 877 907 937 967 997 1027 1057 1087 1117 1147 1177
13х47 11х61 17х43 7х113 23х37 13х77
11х91
7х143 19х59
611 641 671 701 731 761 791 821 851 881 911 941 971 1001 1031 1061 1091 1121 1151 1181
19х37 7х109 13х61 11х83 23х41 7х139 17х59 13х91
7х169
613 643 673 703 733 763 793 823 853 883 913 943 973 1003 1033 1063 1093 1123 1153 1183
7х101 11х67 13х59 7х131 19х53 17х61 11х97 23х49
7х161 13х89
617 647 677 707 737 767 797 827 857 887 917 947 977 1007 1037 1067 1097 1127 1157 1187
11х59 7х97 17х47 7х127 13х73 11х89 7х157 19х61 29х41
619 649 679 709 739 769 799 829 859 889 919 949 979 1009 1039 1069 1099 1129 1159 1189
7х89 23х31 11х73 17х49
7х119 19х47 13х71 7х149 29х37 11х103
623 653 683 713 743 773 803 833 863 893 923 953 983 1013 1043 1073 1103 1133 1163 1193
17х37 13х53 7х107 19х41 11х79 29х31 7х137 23х43 13х83 17х67 7х167 11х109
629 659 689 719 749 779 809 839 869 899 929 959 989 1019 1049 1079 1109 1139 1169 1199
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
4
+7
11
+7
18
+7
25
+7
32 39 46 53 60 67 …
+13
+43
+73
+103
+133
+163
+193
+223
+253
+283
17
+37
54
+37
91
+37
128 165 202 239 276 313 350 …
+43
+73
+103
30
+67 97
+67 164
+67 231 298 365 432 499 566 633 …
+13
+43
+73
+103
43
+97
140
+97
237
+97
334 431 528 625 722 819 916 …
56
+127
183 310 437 564 691 818 945 1072 1199 …
69
+157
226 383 540 697 854 1011 1168 1325 1482 …
82 +187 269 456 643 830 1017 1204 1391 1578 1765 …
95
+217 312 529 746 963 1180 1397 1614 1831 2048 …
108
+247
355 602 849 1096 1343 1590 1837 2084 2331 …
121
+277
398 675 952 1229 1506 1783 2060 2337 2614 …
… … … … … … … … … …
Таблица 4
3х7 3х17 9х9
3х27 7х13 3х37 11х11 3х47 7х23 9х19
3х57 3х67
1 11 21 31 41 51 61 71 81 91 101 111 121 131 141 151 161 171 181 191 201
3х11 7х9
3х21 3х31 3х41 7х19 11х13 9х17
3х51 3х61 7х29
3 13 23 33 43 53 63 73 83 93 103 113 123 133 143 153 163 173 183 193 203
3х9 3х19 7х11 3х29 9х13
3х39 7х21
3х49 3х59 11х17 9х23
3х69
7 17 27 37 47 57 67 77 87 97 107 117 127 137 147 157 167 177 187 197 207
3х3 3х13 7х7 3х23 9х11
3х33 7х17 3х43 3х53 13х13 9х21
7х27
3х63 11х19
9 19 29 39 49 59 69 79 89 99 109 119 129 139 149 159 169 179 189 199 209
13х17 11х21
7х33
3х77 9х29
3х87 3х97 7х43 3х107 11х31 9х39
13х27
3х117 19х19 7х53 3х127 17х23
211 221 231 241 251 261 271 281 291 301 311 321 331 341 351 361 371 381 391
9х27
3х71 9х27
3х81 11х23 7х39
3х91 3х101 17х19 9х37
3х111 7х49 11х33
3х121 3х131
213 223 233 243 253 263 273 283 293 303 313 323 333 343 353 363 373 383 393
9х211х27
9х33
7х31 3х79 13х19 3х89 7х41 11х27
9х33
3х99 3х109 17х21
7х51
3х119 13х29 9х43
3х129
217 227 237 247 257 267 277 287 297 307 317 327 337 347 357 367 377 387 397
9х27
3х73 3х83 7х37 9х31
3х93 17х17 13х23 3х103 11х29 7х47 19х21
3х113 9х41
3х123 7х57
3х133
219 229 239 249 259 269 279 289 299 309 319 329 339 349 359 369 379 389 399
3х137 9х49
21х21
7х63
3х147 11х41 3х157 13х37 3х167 7х73 9х59
3х177 19х29 11х51
17х33
3х187 7х83
401 411 421 431 441 451 461 471 481 491 501 511 521 531 541 551 561 571 581
7х59 9х47
3х141 3х151 11х43 7х69
21х23
3х161 17х29 19х27
9х57
3х171 3х181 7х79 3х191 11х53
403 413 423 433 443 453 463 473 483 493 503 513 523 533 543 553 563 573 583
7х81
9х63
11х37 3х139 7х61 19х23 3х149 9х53
3х159 7х71 3х169 11х47 17х31 3х179 7х81
9х63
3х189
407 417 427 437 447 457 467 477 487 497 507 517 527 537 547 557 567 577 587
11х39
3х143 9х51
17х27
3х153 7х67 3х163 3х173 23х23 11х49
7х77 9х61
3х183 3х193 19х31
409 419 429 439 449 459 469 479 489 499 509 519 529 539 549 559 569 579 589
1.
2.
3.
4.
3
+3
6
+3
9
+3
12
+3 15 18 21 24 27 30 …
+7
+17
+27
+37
+47
+57
+67
+77
+87
+97
10
+13
23
+13
36
+13
49 62 75 88 101 114 127 …
+17
+27
+37
+47
17
+23 40
+23 63
+23 86 109 132 155 178 201 224 …
+7
+17
+27
+37
+47
24
+33
57
+33
90
+33
123 156 189 222 255 288 321 …
31
+43
74 117 160 203 246 289 332 375 418 …
38
+53
91 144 197 250 303 356 409 462 515 …
45 +63 108 171 234 297 360 423 486 549 612 …
52
+73 125 198 271 344 417 490 563 636 709 …
59
+83
142 225 308 391 474 557 640 723 806 …
66
+93
159 252 345 438 531 624 717 810 903 …
… … … … … … … … … …
Таблица 7
5
+5
10 +5
15 +5
20 +5
25 …
+5
+11
+17
+23
+29
10 +11
21 +11
32 +11
43 +11
54 …
+5
+11
15 +17
32 49
66 83 …
+5
+11
20 +23
43 66
89 112 …
+5
+11
25 +29
54 83 112 141 …
… … … … …
9
+7
16 +7
23 +7
30 +7
37 …
+7
+13
+19
+25
+31
16 +13
29 +11
42 +11
55 +11
68 …
+7
+11
27 +19
42 61
80 99 …
+7
+11
30 +25
55 80 105 130 …
+7
+11
37 +31
68 99 130 161 …
… … … … …
6
+5
11 +5
16 +5
21 +5
26 …
+7
+13
+19
+25
+31
13 +11
24 +11
35 +11
46 +11
57 …
+7
13+
+19
20 +17
37
54
71 88 …
+7
+13
27 +23
50
73
96 119 …
+7
+13
34 +29
63
92 121 150 …
… … … … …
Таблица 10
и - столбцы и строки матриц, индексами не снабжаю.
Таблица 11