Курсовая работа на тему: «Исследование эффективности методов определения настроечных коэффициентов типовых законов управления»

Федеральное агентство по образованию Российской Федерации

Волжский политехнический институт (филиал)

Волгоградского государственного технического университета

Кафедра «ВАЭ и ВТ»

УТВЕРЖДАЮ

Зав.кафедры/секцией/

«____» ____________ 200 ___ г.

КУРСОВАЯ РАБОТА

по теории автоматического управления

на тему:

«Исследование эффективности методов определения настроечных коэффициентов типовых законов управления»

Автор проекта: Барсуков Михаил Сергеевич

Обозначение КП ________________________________ группа ВАУ-327

Руководитель проекта: Медведева Людмила Ивановна

Проект защищён _____________________________ оценка __________

Волжский 2009 г.

Содержание

Задание и исходная кривая разгона. 3

1. Определение передаточной функции объекта. 4

1.1 Метод Ротача 4

1.2 Метод Симою 1 6

1.3 Метод Симою 2 9

1.4 Получение переходных процессов по рассчитанным передаточным функциям объекта 10

2. Расчет настроечных коэффициентов типовых регуляторов 14

2.1 Пропорциональный регулятор 14

а) Аналитический метод расчета 14

б) Графический метод расчета 15

2.2 Пропорционально-интегральный регулятор 17

а) Аналитический метод расчета 17

б). Графический метод расчета 19

2.3.Пропорционально-интегрально-дифференциальный регулятор 22

а) Аналитический метод расчета 22

б) Графический метод расчета 25

3. Анализ эффективности рассчитанных коэффициентов 29

3.1 П-регулятор 29

3.2 ПИ-регулятор 32

3.3 ПИД-регулятор 34

Вывод 36

Задание

1. Определение передаточной функции объекта. Используя кривую разгона, выданную преподавателем, методами активного эксперимента (Ротача, Симою 1 и 2), определить 3 передаточные функции. Используя программное средство VisSim, построить 3 переходных процесса. Рассчитать площади под исходной кривой разгона и под полученными переходными процессами, приведенными предварительно к единичному значению. Рассчитать погрешности , где - площадь под приведенной к единице исходной кривой разгона, - площадь приведенной к единице одной из расчетных кривых. Та передаточная функция, погрешность при которой наименьшая, используется для дальнейших расчетов.

2. Расчет настроечных коэффициентов типовых регуляторов. Используя передаточную функции из п.1, рассчитать аналитическим и графическим методом настроечные параметры П-, ПИ- и ПИД-регуляторов.

3. Анализ эффективности рассчитанных коэффициентов. В программном средстве VisSim построить 6 переходных процессов для системы объект - регулятор, и для каждого из них рассчитать статические, динамические и интегральные критерии качества. Сделать вывод:

1) О наиболее эффективном регуляторе для исследуемого объекта

2) О наиболее эффективном методе расчета настроечных параметров

1. Определение передаточной функции объекта

Исходная кривая разгона представлена на рис. 1

рис. 1

1.1 Метод Ротача

Метод предназначен для объектов, переходная характеристика которых имеет S-образный вид.

По кривой разгона находим коэффициент усиления k:

где Δx = 1 величина входного возмущения,

По кривой разгона определяем Δy = 16;

В точке перегиба Е, координаты точки перегиба y = 7 и t = 10, строим касательную, и определяем значение временных отрезков Tab , Tbd ;

Tab = 4,5;

Tbd = 17;

Определим

Для того, чтобы найти численные значения постоянной времени Т, времени запаздывания , порядка объекта n используют следующую таблицу:

n k1 k2

0 1 1 0

0,104 2 2,718 0,282

0,218 3 3,695 0,805

0,319 4 4,463 1,425

0,41 5 5,119 2,1

Т.к. отличаются от имеющихся в таблице, то порядок устанавливает по меньшему ближайшему значению:

n = 3; k1 = 3,695; k2 = 0,805.

Определяем передаточную функцию:

где

- условное время запаздывания ;

Искомая передаточная функция будет, имеет вид:

1.2 Метод Симою 1

На основании исходной кривой разгона составим таблицу:

t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

y 0 0,1 0,3 0,6 1,2 1,9 2,5 3,4 4,5 5,8 7 8,2 9,6 10,9 11,8

ymax - y 16 15,9 15,7 15,4 14,8 14,1 13,5 12,6 11,5 10,2 9 7,8 6,4 5,1 4,2

z =ln(ymax-y) 2,77 2,76 2,75 2,73 2,69 2,65 2,6 2,53 2,44 2,32 2,2 2,1 1,86 1,63 1,44

t 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

y 12,5 13,2 13,9 14,2 14,8 15,1 15,5 15,8 15,9 16

ymax - y 3,5 2,8 2,1 1,8 1,2 0,9 0,5 0,2 0,1 0

z =ln(ymax-y) 1,25 1 0,7 0,59 0,18 -0,1

Построим кривую z(t)

Найдем :

Для этого к хвостовой части графика (около 10 %) строим касательную до пересечения с осью z.

Определим соотношение площадей S1 и S2:

Разность площадей фигур составляет:

;

Т.к. соотношение не выполняется то объект имеет более высокий порядок, поэтому необходимо найти следующую постоянную времени:

рис 2.

Составим таблицу:

t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

y1 6,5 6,1 5,75 5,4 5,1 4,8 4,5 4,1 3,8 3,5 3,1 2,8 2,5 2,1 1,75

y1 - z 3,73 3,34 3 2,7 2,4 2,1 1,9 1,6 1,4 1,2 0,9 0,7 0,6 0,5 0,3

z1 =ln(y1 - z) 1,32 1,21 1,1 1 0,9 0,74 0,64 0,5 0,3 0,2 -0,1

t 15 16 17 18 19 20

y1 1,5 1,2 0,77 0,5 0,2 0

y1 - z 0,25 0,2 0,07 -0,09

Строим кривую z1(t)

рис 3.

Найдем :

Находим площади фигур:

Разность площадей фигур составляет:

Так как неравенство практически выполняется, то искомая передаточная функция будет иметь вид:

1.3 Метод Симою 2

Метод предназначен для определения передаточных функции объекта по его кривой разгона и получил название метод площадей. Составим таблицу.

t y

0 0 0 1 0 0 0 1 1

1 0,1 0,006 0,994 0,09 0,91 0,9 0,805 0,8

2 0,3 0,02 0,98 0,18 0,82 0,8 0,62 0,61

3 0,6 0,04 0,96 0,27 0,73 0,7 0,445 0,43

4 1,2 0,08 0,92 0,36 0,64 0,6 0,361 0,33

5 1,9 0,12 0,88 0,45 0,55 0,5 0,201 0,18

6 2,5 0,16 0,84 0,54 0,46 0,4 0,051 0,04

7 3,4 0,21 0,79 0,63 0,37 0,3 -0,088 -0,07

8 4,5 0,28 0,72 0,72 0,28 0,2 -0,155 -0,11

9 5,8 0,36 0,64 0,81 0,19 0,1 -0,28 -0,18

10 7 0,44 0,56 0,9 0,1 0,06 -0,395 -0,22

11 8,2 0,51 0,49 0,99 0,01 0,005 -0,5 -0,25

12 9,6 0,6 0,4 1,1 -0,1 -0,04 -0,595 -0,24

13 10,9 0,68 0,32 1,2 -0,2 -0,06 -0,68 -0,22

14 11,8 0,74 0,26 1,3 -0,3 -0,08 -0,755 -0,2

15 12,5 0,78 0,22 1,4 -0,4 -0,09 -0,82 -0,18

16 13,2 0,83 0,17 1,45 -0,45 -0,08 -0,849 -0,14

17 13,9 0,87 0,13 1,5 -0,5 -0,07 -0,875 -0,11

18 14,2 0,89 0,11 1,63 -0,63 -0,07 -0,939 -0,1

19 14,8 0,93 0,07 1,72 -0,72 -0,05 -0,955 -0,07

20 15,1 0,94 0,06 1,81 -0,81 -0,05 -0,98 -0,06

21 15,5 0,97 0,03 1,9 -0,9 -0,03 -0,995 -0,03

22 15,8 0,99 0,01 2 -1 -0,01 -1 -0,01

23 15,9 0,99 0,01 2,1 -1,1 -0,01 -0,995 -0,01

24 16 1 0 2,2 -1,2 0 -0,98 0

Подсчитываем сумму элементов: .

Определяем значение площади F1:

Находим сумму элементов:

Определяем площадь F2:

Высчитываем сумму элементов:

Находим площадь F3:

Передаточная функция объекта определяется выражением:

Таким образом, передаточная функция имеет вид:

1.4 Получение переходных процессов по рассчитанным передаточным функциям объекта

- площадь под приведенной к единице исходной кривой разгона.

Определим степень погрешности кривой разгона, полученной методом Ротача, с исходной кривой разгона.

Переходный процесс, построенный по передаточной функции, рассчитанной методом Ротача, показан на рис. 4.

рис. 4

Площадь под приведенной кривой переходного процесса

Определяем погрешность:

Переходный процесс, построенный по передаточной функции, рассчитанной методом Симою 1, показан на рис. 5.

рис. 5

Площадь под приведенной кривой переходного процесса

Определяем погрешность:

Переходный процесс, построенный по передаточной функции, рассчитанной методом Симою 2, показан на рис. 6.

рис. 6

Площадь под приведенной кривой переходного процесса

Определяем погрешность:

Для дальнейших расчетов будем использовать передаточную функцию, полученную с помощью метода Симою 2, т.к. погрешность минимальная.

2. Расчет настроечных коэффициентов типовых регуляторов

Используя передаточную функцию, рассчитаем настроечные коэффициенты для пропорционального, пропорционально-интегрального и пропорционально-интегрально-дифференциального регуляторов аналитическим и графическим методами.

2.1 Пропорциональный регулятор

а) Аналитический метод

1) Исходные данные

Передаточная функция объекта: ;

Передаточная функция регулятора:

Критерий устойчивости Найквиста-Михайлова:

где – АЧХ объекта и регулятора соответственно;

– ФЧХ объекта и регулятора.

2) Расчет

2.1) Запишем уравнение Найквиста-Михайлова согласно исходным данным

2.2) Из уравнения (**) системы находим рабочую, которая является проекцией на ось точки пересечения ФЧХ объекта и прямой на уровне :

Учитываем правила перехода.

2.3) Рабочую частоту подставляем в АЧХ объекта и находим амплитуду при рабочей частоте :

2.4) Из уравнения (*) системы находим :

3) Передаточная функция регулятора

б) Графический метод

1) Исходные данные

1.1) Передаточная функция объекта: ;

1.2) Передаточная функция регулятора:

2). Расчет

2.1) На основании исходных данных строим АФХ объекта.

Таблица - АЧХ и ФЧХ объекта

ω 0,01 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,4 0,5 0,6

A(ω) 15,96 15,08 12,61 9,61 7,05 5,19 3,91 2,39 1,59 1,12

F(ω) -7 -33,7 -65 -92 -112 -128 -140 -157 -170 -180

где первая строка – значение ω;

вторая строка – значение АЧХ при заданной ω;

третья строка – значение ФЧХ в градусах при заданной ω.

2.2) Из начала координат под углом к отрицательной реальной оси проводим луч ОА.

2.3) Строим касательную окружность с центром на отрицательной реальной оси таким образом, чтобы она касалась и АФХ объекта, и луча ОА.

Масштаб увеличен в 4 раза

Расчеты из Компас и MathCad совпадают радиус окружности

2.4) Находим численное значение пропорциональной настройки:

3) Передаточная функция регулятора:

2.2 Пропорционально-интегральный регулятор

а) Аналитический метод

1. Исходные данные

1.1) Передаточная функция ;

1.2) Передаточная функция регулятора –

1.3) Критерий устойчивости Найквиста-Михайлова:

где – АЧХ объекта и регулятора соответственно; – ФЧХ объекта и регулятора.

2. Расчет

2.1) Задавая различные значения частоты, система уравнений решается относительно и , численные значения которых заносятся в плоскость настроечных коэффициентов.

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6

-0,0333 0,0535 0,1949 0,3861 0,6204 0,8897

7,2*10-3 0,0263 0,0497 0,0653 0,0565 2,6*10-3

2.2. Максимальная частота

Рабочая частота найдется из выражения: ;

2.3. Рабочее значение частоты подставим в систему уравнений и находим оптимальные значения и .

Строим плоскость настроечных коэффициентов:

3. Ответ

Передаточная функция регулятора

б) Графический метод расчета

1. Исходные данные

1.1) Передаточная функция ;

1.2) Передаточная функция регулятора –

2. Расчет

2.1. В комплексной плоскости строим последовательность векторов, длина которых зависит от АЧХ объекта, а угол поворота от реальной оси – от ФЧХ объекта.

0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,4 0,5

12,61 9,61 7,05 5,19 3,91 2,39 1,59

-65 -92 -112 -128 -140 -157 -170

2.2. К вершине каждого вектора восстанавливаем перпендикуляр

2.3. На перпендикуляре откладываем отрезки, длины которых вычисляются по формуле:

, где – АЧХ объекта, – частота, – время интегрирования (выбирается произвольно)

0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,4 0,5

20 6,305 3,203 1,763 1,038 0,652 0,299 0,159

14 9 4,58 2,52 1,48 0,93 0,43 2,23

12 10,51 5,34 2,94 1,73 1,09 0,5 0,265

10 12,61 6,41 3,53 2,08 1,3 0,6 0,318

8 15,76 8,01 4,41 2,6 1,63 0,75 0,3975

6 21,02 10,68 5,88 3,46 2,17 1 0,53

4 31,53 16,02 8,81 5,19 3,26 1,49 0,795

2.4. Отрезки с одинаковым временем интегрирования соединим плавными кривыми.

2.5. Из начала координат под углом к отрицательной реальной оси проведем луч.

2.6. Строим касательные окружности таким образом, чтобы их центр лежал на отрицательной реальной оси, и они касались и луча, и каждая своей кривой.

Масштаб увеличиваем в 4 раза.

2.7. Используя радиусы окружностей, находим пропорциональные коэффициенты

; ; ;

2.8. Строим область устойчивости в координатах от . Все значения ниже этой плоскости отвечают значениям устойчивости, а для определения оптимальных коэффициентов проведем касательную, точка касания определяет оптимальные коэффициенты.

По точке касания определим, что ; .

3. Ответ

Передаточная функция регулятора

2.3 Пропорционально-интегрально-дифференциальный регулятор

а). Аналитический метод расчета

1. Исходные данные

1.1. Передаточная функция объекта имеет вид:

1.2. Передаточная функция регулятора –

1.3. Критерий устойчивости Найквиста-Михайлова представлен в виде системы уравнений:

1.4.Среднеквадратический критерий качества, стремящийся к минимуму

1.5. Динамический критерий качества – заданная степень колебательности

2. Расчет

2.1. Находим расширенную передаточную функцию объекта.

Расширенной характеристикой называется искусственно измененная характеристика путем добавления в нее дополнительных членов.

Делается это для придания системе заданной устойчивости.

2.2. Для расширенной передаточной функции объекта находим АЧХ и ФЧХ расширенные.

2.3. Используя систему уравнений Найквиста-Михайлова находим параметры регулятора

2.4. Проекцией этого вектора на мнимую и реальную полуоси определим мнимую параметрическую функцию J и реальную параметрическую функцию R

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 1 2 3 4 5

15,974 9,209 4,853 2,869 1,88 0,505 0,148 0,078 0,052 0,04

-71º -130º -162º -181º -194º -234º -288º -337º -24º -70º

0,063 0,109 0,206 0,349 0,532 1,979 6,765 12,862 19,245 25,268

71º 50º 18º 1º 14º 54º 72º 23º 24º 70º

0,0596 0,0835 0,0637 0,0061 0,129 1,6 6,43 5,02 7,83 23,74

R 0,0205 0,07 0,196 0,349 0,516 1,16 2,09 11,8 17,58 8,64

Численные значения и заносим в плоскость параметрических функций, которая носит экстремальный характер и ее максимум соответствует минимальному значению среднеквадратическому критерию качества более качественной работе системы.

Из графика видно, что , , .

2.5. Используя максимальную частоту, мнимую и реальную параметрические функции составим систему уравнений, которая отражает свойства только регулятора. Для этого в передаточную функцию регулятора подставим расширенное R(p). Система уравнений тогда имеет вид:

2.6. Задаются различные значения коэффициента , система решается относительно и , результаты решений должны удовлетворять условие: .

Пусть , тогда это, в свою очередь, удовлетворяет неравенству, следовательно, коэффициенты являются оптимальными.

3. Ответ

Передаточная функция регулятора

б) Графический метод расчета

1. Исходные данные

1.1. Передаточная функция объекта имеет вид

1.2. Передаточная функция регулятора –

2. Расчет

0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,4 0,5

12,61 9,61 7,05 5,19 3,91 2,39 1,59

-65 -92 -112 -128 -140 -157 -170

2.2. К вершине каждого вектора восстанавливаем перпендикуляр

2.3. На перпендикуляре откладываем отрезки, длины которых вычисляются по формуле:

, где – АЧХ объекта, – частота, – коэффициент приближения, – время интегрирования (выбирается произвольно)

0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,4 0,5

4 73,866 28,997 13,127 5,991 2,596 0,912 -0,417 -0,793

3,5 84,845 33,815 15,774 7,602 3,663 1,67 0,034 -0,481

3 99,395 40,134 19,184 9,633 4,976 2,584 0,557 -0,132

2,5 119,688 48,854 23,813 12,334 6,685 3,745 1,193 0,277

2 150,034 61,777 30,576 16,211 9,087 5,341 2,028 0,793

1,5 200,486 83,104 41,609 22,437 12,783 7,805 3,26 1,52

1 301,2 125,445 63,314 34,536 20,121 12,441 5,486 2,775

2.4. Отрезки с одинаковым временем интегрирования соединим плавными кривыми.

2.5. Из начала координат под углом к отрицательной реальной оси проведем луч.

2.7. Используя радиусы окружностей, находим пропорциональные коэффициенты

; ; ;

3. Ответ

Передаточная функция регулятора

3. Анализ эффективности рассчитанных коэффициентов

3.1 П-регулятор

Аналитический метод

Критерии качества:

а) Статические критерии качества

• статическая погрешность ;

• динамическая погрешность ;

• перерегулирование ;

б) Динамические критерии качества

• время регулирования ;

• время нарастания ;

• скорость переходного процесса ;

• заданная степень затухания - система считается качественной;

в) Интегральные критерии

t 0 3 6 9 12 15 18 21 24

y 0 5,85 7,86 4,66 5,03 6,23 5,62 5,35 5,7

y-yуст -5,61 0,24 2,25 -0,95 -0,58 0,62 0,01 -0,26 0,09

|y-yуст| 5,61 0,24 2,25 0,95 0,58 0,62 0,01 0,26 0,09

(y-yуст)^2 31,4721 0,0576 5,0625 0,9025 0,3364 0,3844 0,001 0,0676 0,0081

t 27 30 33 36 39 42 45 48 50 сумма

y 5,68 5,54 5,6 5,64 5,6 5,6 5,605 5,608 5,61 96,783

y-yуст 0,07 -0,07 -0,01 0,03 -0,01 -0,01 -0,005 -0,008 0 -4,203

|y-yуст| 0,07 0,07 0,01 0,03 0,01 0,01 0,005 0,008 0 10,823

(y-yуст)^2 0,0049 0,0049 0,0001 0,0009 0,0001 0,0001 0,000025 0,000064 0 38,303

• абсолютный

• относительный

• модульный

• среднеквадратический

Графический метод

Критерии качества:

а) Статические критерии качества

• статическая погрешность ;

• динамическая погрешность ;

• перерегулирование ;

б) Динамические критерии качества

• время регулирования ;

• время нарастания ;

• скорость переходного процесса ;

• заданная степень затухания - система считается качественной;

в) Интегральные критерии

t 0 3 6 9 12 15 18 21 24

y 0 2,2 5,23 6,23 5,61 4,8 4,55 4,72 4,94

y-yуст -4,91 -2,71 0,32 1,32 0,7 -0,11 -0,36 -0,19 0,03

|y-yуст| 4,91 2,71 0,32 1,32 0,7 0,11 0,36 0,19 0,03

(y-yуст)^2 24,1081 7,3441 0,1024 1,7424 0,49 0,0121 0,1296 0,0361 0,0009

t 27 30 33 36 39 42 45 48 50 сумма

y 5 4,95 4,9 4,88 4,89 4,907 4,908 4,908 4,91 82,533

y-yуст 0,09 0,04 -0,01 -0,03 -0,02 -0,003 -0,002 -0,002 0 -5,847

|y-yуст| 0,09 0,04 0,01 0,03 0,02 0,003 0,002 0,002 0 10,847

(y-yуст)^2 0,0081 0,0016 0,0001 0,0009 0,0004 0,000009 0,000004 0,000004 0 33,977

• абсолютный

• относительный

• модульный

• среднеквадратический

3.2 ПИ-регулятор

Аналитический метод

Процесс расходящийся, значит система неустойчива

Графический метод

Процесс расходящийся, значит система неустойчива.

3.3 ПИД-регулятор

Аналитический метод

Процесс расходящийся, значит система неустойчива.

Графический метод

Процесс расходящийся, значит система неустойчива.

Вывод

В ходе данной курсовой работы была определена передаточная функция объекта управления с данной кривой разгона и были получены оптимальные настроечные коэффициенты П-, ПИ- и ПИД-регуляторов для объекта регулирования, имеющего передаточную функцию вида:

аналитическим и графическим методами.

Исходя из результатов, полученных по переходным процессам САР для данного объекта управления, можно утверждать, что наиболее оптимальным регулятором для исходной кривой разгона является:

1. П – регулятор;

2. Для данной кривой наиболее эффективным оказался аналитический метод

расчета ( ; ; ), так как, при коэффициенте, полученном из этого метода, система имеет наиболее оптимальные критерии качества.